直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(如何证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半)
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2023-12-04
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1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,如何证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半?
证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以使用勾股定理。
设直角三角形的斜边为$c$,直角边分别为$a$和$b$,斜边中线长度为$m$。根据勾股定理,有$a^2+b^2=c^2$。斜边中线$m$与斜边$c$和直角边$b$构成一个直角三角形,根据勾股定理,有$m^2=\frac{c^2}{4}+b^2$。
将$a^2+b^2=c^2$代入$m^2=\frac{c^2}{4}+b^2$中,得到:
$$m^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}+b^2$$
化简得:
$$m^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{4}$$
又因为$a^2+b^2=c^2$,所以可以把上式中的$a^2$替换为$c^2-b^2$,得到:
$$m^2=\frac{c^2}{4}-\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{4}$$
化简得:
$$m^2=\frac{c^2}{2}$$
所以:
$$m=\frac{c}{\sqrt{2}}$$
即斜边中线$m$等于斜边$c$的一半乘以$\sqrt{2}$,也就是$m=\frac{c}{2}\sqrt{2}$。
因此,可以证明在直角三角形中,斜边中线的长度等于斜边的一半。
2. 为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半?
设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E,使DE=AD,连接CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等),
AD=DE,
∴△ADB≌△EDC(SAS),
∴AB=CE,∠B=∠DCE,
∴AB//CE(内错角相等,两直线平行)
∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠BAC=90°,
∴∠ACE=90°,
∵AB=CE,∠BAC=ECA=90°,AC=CA,
∴△ABC≌△CEA(SAS)
∴BC=AE,
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)
∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)
∴DE垂直平分AC,
∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
【证法3】
延长AD到E,使DE=AD,连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵AD=DE,
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
∵∠BAC=90°,
∴四边形ABEC是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形),
∴AE=BC(矩形对角线相等),
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
3. 三角形斜边上的一半是什么?
等于斜边上的中线。
证明过程如下:
取AC的中点E,连接DE。取BC的中点D
∵AD是斜边BC的中线
∴BD=CD=1/2BC
∵E是AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)
∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)
∴DE垂直平分AC
∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如何求证?
方法一,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于0,则0A=0B=0C=0D=AC/2=BD/2,根据矩形的对角线互相平分且相等),<ABC=90度,在RtABC中,0B是斜边AC的一半。
方法二,ABC的外接圆,共<C=90度,则<C对应弦AB为直径,0C为半径,0是AB中点,∴斜边上中线0C=Aβ/2。
5. 如果斜边上的中线等于斜边的一半?
可以。
证明过程如下:
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是BC边的中线
∴BD=CD=1/2BC
∵AD=1/2BC
∴AD=CD
∵点E是AC的中点
∴DE⊥AC(三线合一)
∴∠DEC=90°
∵点D是BC的中点,点E是AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//AB
∴∠BAC=∠DEC=90°
∴△ABC是直角三角形
扩展资料:
直角三角形斜边公式
1、已知两条直角边的长度 ,可按公式: 计算斜边。
2、如已知一条直角边和一个锐角,可用直角三角函数计算斜边。
直角三角形ABC的六个元素中除直角C外,其余五个元素有如下关系:
∠A+∠B=90°
sinA=(∠A的)对边/斜边
cosA=(∠A的)邻边/斜边
tanA=(∠A的)对边/邻边
直角三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:
1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、在直角三角形中,两个锐角互余。
3、直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
6. 直角三角形斜边上的中线最值?
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
直角三角形斜边上的中线定理是:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
上述定理的证明,是利用圆中直径所对的圆周角是直角,连结圆心和直角顶点,根据同圆的半径相等得到的
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,从而知道分成的两个三角形都是等腰三角形
7. 为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半?
直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E,使DE=AD,连接CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等),
AD=DE,
∴△ADB≌△EDC(SAS),
∴AB=CE,∠B=∠DCE,
∴AB//CE(内错角相等,两直线平行)
∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠BAC=90°,
∴∠ACE=90°,
∵AB=CE,∠BAC=ECA=90°,AC=CA,
∴△ABC≌△CEA(SAS)
∴BC=AE,
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)
∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)
∴DE垂直平分AC,
∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
【证法3】
延长AD到E,使DE=AD,连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵AD=DE,
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
∵∠BAC=90°,
∴四边形ABEC是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形),
∴AE=BC(矩形对角线相等),
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
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1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,如何证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半?
证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以使用勾股定理。
设直角三角形的斜边为$c$,直角边分别为$a$和$b$,斜边中线长度为$m$。根据勾股定理,有$a^2+b^2=c^2$。斜边中线$m$与斜边$c$和直角边$b$构成一个直角三角形,根据勾股定理,有$m^2=\frac{c^2}{4}+b^2$。
将$a^2+b^2=c^2$代入$m^2=\frac{c^2}{4}+b^2$中,得到:
$$m^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}+b^2$$
化简得:
$$m^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{4}$$
又因为$a^2+b^2=c^2$,所以可以把上式中的$a^2$替换为$c^2-b^2$,得到:
$$m^2=\frac{c^2}{4}-\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{4}$$
化简得:
$$m^2=\frac{c^2}{2}$$
所以:
$$m=\frac{c}{\sqrt{2}}$$
即斜边中线$m$等于斜边$c$的一半乘以$\sqrt{2}$,也就是$m=\frac{c}{2}\sqrt{2}$。
因此,可以证明在直角三角形中,斜边中线的长度等于斜边的一半。
2. 为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半?
设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E,使DE=AD,连接CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等),
AD=DE,
∴△ADB≌△EDC(SAS),
∴AB=CE,∠B=∠DCE,
∴AB//CE(内错角相等,两直线平行)
∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠BAC=90°,
∴∠ACE=90°,
∵AB=CE,∠BAC=ECA=90°,AC=CA,
∴△ABC≌△CEA(SAS)
∴BC=AE,
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)
∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)
∴DE垂直平分AC,
∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
【证法3】
延长AD到E,使DE=AD,连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵AD=DE,
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
∵∠BAC=90°,
∴四边形ABEC是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形),
∴AE=BC(矩形对角线相等),
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
3. 三角形斜边上的一半是什么?
等于斜边上的中线。
证明过程如下:
取AC的中点E,连接DE。取BC的中点D
∵AD是斜边BC的中线
∴BD=CD=1/2BC
∵E是AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)
∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)
∴DE垂直平分AC
∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
4. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如何求证?
方法一,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于0,则0A=0B=0C=0D=AC/2=BD/2,根据矩形的对角线互相平分且相等),<ABC=90度,在RtABC中,0B是斜边AC的一半。
方法二,ABC的外接圆,共<C=90度,则<C对应弦AB为直径,0C为半径,0是AB中点,∴斜边上中线0C=Aβ/2。
5. 如果斜边上的中线等于斜边的一半?
可以。
证明过程如下:
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是BC边的中线
∴BD=CD=1/2BC
∵AD=1/2BC
∴AD=CD
∵点E是AC的中点
∴DE⊥AC(三线合一)
∴∠DEC=90°
∵点D是BC的中点,点E是AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//AB
∴∠BAC=∠DEC=90°
∴△ABC是直角三角形
扩展资料:
直角三角形斜边公式
1、已知两条直角边的长度 ,可按公式: 计算斜边。
2、如已知一条直角边和一个锐角,可用直角三角函数计算斜边。
直角三角形ABC的六个元素中除直角C外,其余五个元素有如下关系:
∠A+∠B=90°
sinA=(∠A的)对边/斜边
cosA=(∠A的)邻边/斜边
tanA=(∠A的)对边/邻边
直角三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:
1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、在直角三角形中,两个锐角互余。
3、直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
6. 直角三角形斜边上的中线最值?
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
直角三角形斜边上的中线定理是:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
上述定理的证明,是利用圆中直径所对的圆周角是直角,连结圆心和直角顶点,根据同圆的半径相等得到的
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,从而知道分成的两个三角形都是等腰三角形
7. 为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半?
直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC的中线,求证:AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E,使DE=AD,连接CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵∠ADB=∠EDC(对顶角相等),
AD=DE,
∴△ADB≌△EDC(SAS),
∴AB=CE,∠B=∠DCE,
∴AB//CE(内错角相等,两直线平行)
∴∠BAC+∠ACE=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠BAC=90°,
∴∠ACE=90°,
∵AB=CE,∠BAC=ECA=90°,AC=CA,
∴△ABC≌△CEA(SAS)
∴BC=AE,
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E,连接DE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD=1/2BC,
∵E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)
∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)
∴DE垂直平分AC,
∴AD=CD=1/2BC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)。
【证法3】
延长AD到E,使DE=AD,连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线,
∴BD=CD,
又∵AD=DE,
∴四边形ABEC是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
∵∠BAC=90°,
∴四边形ABEC是矩形(有一个角是90°的平行四边形是矩形),
∴AE=BC(矩形对角线相等),
∵AD=DE=1/2AE,
∴AD=1/2BC。
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